Dette hæfte er en del af et interaktivt læresystem i matematik hf, og beregnet til at blive brugt på en pc med Explorer koblet på Internettet (mahf.dk). Herved bliver det muligt at benytte diverse links til E-opgaver, interaktive opgaver og til videoer. Sideløbende hermed kan det være praktisk at benytte en papirudgave, som kan printes direkte fra mahf.dk.

På mahf.dk findes dette hæfte både i HTML-format med links og i et printvenligt PDF-format, hvor de fleste links er inaktive.

Videoerne bør ses i brudstykker på kun nogle få minutter af gangen.

Besvarelser af E-opgaver sendes automatisk via Internettet til læreren.

Med denne matematik-pakke følger endvidere et elektronisk afleveringsark, RegneRobot med matematik-editor og CAS , hvor elever/kursister kan besvare opgaver og også her automatisk få sendt opgavebesvarelserne til læreren.

RegneRobot indeholder en række faciliteter, der gør det lettere at besvare opgaver.

Indholdsfortegnelsen kan benyttes som links.

Uanset hvor man er i dokumentet, kan man komme til indholdsfortegnelsen ved at taste Ctrl+Home , PageDown , PageDown.

Søgning på bestemte ord (svarende til stikordsregister) foretages ved at taste Ctrl+f

I denne version, Matematik C interaktivt for hf, version 8.6 er i del 1 (grønt hæfte), lektion 12 tilføjet en omtale af graf-programmet GraphSketch. Desuden er der sket en lille ændring her i del 2 (blåt hæfte), lektion 18c, ”Eksempel på eksamensspørgsmål”.
Facitlisten i tidligere versioner er fjernet i denne version 8.6 og i version 8.5, men erstattet af links til en facitliste. Ellers er denne version næsten magen til de tidligere versioner.

Denne undervisningspakke er under stadig udvikling. Forslag og eventuelle rettelser til denne pakke modtages med tak på lyngbydata.dk/rettelser

Matematik-pakken kan bestilles via lyngbydata.dk/pakke

/Peter Sørensen

Lektion 15: Potens-funktioner

Udfør følgende 6 punkter

1) Se: Video med potens-funktioner

2) Læs:

Rapportopgave: ”Mønt falder ned”

Gå op i et hus med flere etager og lad med forsigtighed en mønt falde ned fra et vindue.

Tag tid på faldtiden og beregn vinduets højde over jorden.
Rapporten skal ikke laves før, du når til punkt 6).

Rapporten skal bl.a. indeholde:

En beskrivelse af problemet og af huset.

Alternative løsningsmetoder med fordele og ulemper.

Valg af løsningsmetode med begrundelse.

Måleresultater og beregning.

Evaluering med bl.a. en omtale af anvendt matematik (ligning, potensfunktion, osv.).

3) Læs:

Definition:
En funktion, der har en regneforskrift af formen y = b·x^a ,
hvor a ikke er nul, og både b og x er positive, kaldes en potensfunktion.

Hvis a<0 (mindre end nul), så er funktionen aftagende.

Hvis a>0 (større end nul), så er funktionen voksende.

y er altid positiv, fordi både x og a er positive.

Eksempel:
Hvis man lader en mønt falde ned fra et højhus, kan faldet med
god tilnærmelse beskrives ved modellen y = 5·x² , hvor x er antal sekunder efter, der er blevet givet slip på mønten og y er antal meter, som mønten er faldet. I dette eksempel er b =5 og a = 2
b er y-værdien når x er 1. Bemærk: Ved potensfunktion tales ikke om begyndelsesværdi.

Sådan findes en regneforskrift

Hvis man kender 2 funktionsværdier, kan man finde en regneforskrift.

a kan beregnes ved formlen:

Herefter kan b findes ved hjælp af formlen:

b = y₁ · x₁^-a = ^y¹/ x₁^a

Eks.

x	3	11
y	57	253

a =

= 1,14704… = 1,1470

b = ⁵⁷/3^·1,14704… = 16,1657… = 16,166

Regneforskriften bliver således: y = 16,166· x^1,470

Fx fås for x=25: y = 16,1657… · 25^1,4704… = 648,779… = 648,78

Her har vi ikke brugt de afrundede værdier af a og b, men de mere nøjagtige, som er gemt i lommeregneren eller i computeren.

Sammenhæng mellem x og y ved potens-vækst

Lad os betragte potens-funktionen: y = 7·x³
og lad os betragte en x-værdi og den tilsvarende y-værdi: 7·x³.

Vi vil nu fremskrive x med 20%.

Dvs. x ganges med fremskrivningsfaktoren (1+20%) = 1,20.

Den nye y-værdi bliver 7·(x·1,20)³= 7·x³ · 1,20³= y · 1,20³

Altså: y skal ganges med 1,20³= 1,728

hvilket er det samme som at fremskrive y med (1,728 – 1) · 100% = 72,8%

Vi bemærker, at når x fremskrives med faktoren 1,20,
så fremskrives y med faktoren 1,20³

Eller sagt på en anden måde:

Når x fremskrives med 20%, så fremskrives y med (1,20³- 1) · 100%

Generelt gælder om en potens-funktion:
Når x fremskrives med faktoren (1+r) så fremskrives y med faktoren (1+r)^a

eller:

Når x fremskrives med faktoren (1+p%) så fremskrives y med faktoren (1+p%)^a
Eller sagt på en anden måde:

Når x fremskrives med p%, så fremskrives y med ((1+p%)^a – 1) · 100%

Dvs, om en potens-funktion gælder:

Når x vokser med en bestemt procent,
så vil y også vokse med en bestemt procent,
og ud fra den %-vise vækst af x kan man beregne den %-vise vækst af y.

Det modsatte gælder også:

Enhver funktion, der har ovenstående egenskab, er en potens-funktion.

Eksempel:
y=5000·x ^-^0,7

En %-vis forøgelse af x med 30% til (x ·1,30) giver
en ny y-værdi på 5000·(x·1,30) ^-0,7 = 5000·x ^-^0,7 · 1,30 ^-0,7

Altså y forøges med faktoren 1,30 ^-0,7
svarende til en %-vis forøgelse på (1,30 ^-0,7 - 1)·100 % = -16,77…% = -16,8%. (Det er en aftagende funktion.)

Tegning af graf for potens-funktioner

Her ses grafen for 3 potensfunktioner, hvor henholdsvis a<0, 0<a<1 og for a>1.

Man kan også tegne potens-funktioner i såkaldt dobbelt logaritmisk koordinatsystem, hvor tallene på både x-aksen og y-aksen er placeret således at grafen for en potens-funktion bliver en ret linje.
Dobbelt logaritmisk koordinatsystem tegnes normalt i dobbelt logaritmisk papir eller ved hjælp af computer.

Hvis støttepunkterne i en tabel flugter en linje i et dobbelt logaritmisk koordinatsystem, kan man konkludere, der med god tilnærmelse er tale om en potens-funktion.

Her ses graferne for de samme funktioner i dobbeltlogaritmisk koordinatsystem.

Hermed skulle været forklaret rigeligt til at kunne regne afleverings-opgaver.

4) Løs interaktive øvelsesopgaver Beregn %-vis forøgelse

Potensfunktion generelt

5) Løs E-opgaver: E-opgaver_15_Potens-funktion.htm

6) Løs fra 2006-opgavehæftet 1.016, 1.017 , 1.018 Facitliste

Link til RegneRobot & opgavehæfte

Lektion 16a: Statistik

Udfør følgende 4 punkter

1) Læs:

Formålet med statistik er at få overblik over et stort talmateriale.

Vi anvender nogle såkaldte deskriptorer, der beskriver talmaterialet.

De enkelte tal i talmaterialet kaldes observationer.

Hele talmaterialet kaldes observationssættet

Vi vil her lære betydningen af følgende såkaldte deskriptorer:

Mindsteværdi (den mindste observation)

Størsteværdi (Den største observation)

Middeltal (gennemsnit),

Median (midten af observationerne, altså grænsen efter første halvdel)

Første kvartil eller nedre kvartil (Grænsen efter første fjerdedel af observationerne)

Tredje kvartil eller øvre kvartil (Grænsen efter tredje fjerdedel af observationerne)

Kvartilsæt (de 3 tal 1. kvartil, median og 3. kvartil)

Første kvartil og nedre kvartil er det samme. Ligeledes er tredje kvartil lig øvre kvartil. Den præcise betydning af median, første kvartil og tredje kvartil vil senere blive beskrevet.

Ikke grupperede observationer

Eksempel:

Vi betragter et selskab på 9 personer og deres vægte i kg:

55, 55, 60 , 61, 65, 70, 88, 90 og 95

Mindsteværdi: 55 kg

Størsteværdi: 95 kg

Middeltal: (55+55+60+61+65+70+88+90+95)kg / 9

Median: 65 kg

1. kvartil: 57,5 kg (Når der ikke er noget tal i midten, tager vi midten af de 2 midterste tal)

3. kvartil: 89 kg

Kvartilsæt: 57.5 kg , 65 kg, 89 kg

Boksplot (eller kassediagram):

En boksplot er en grafisk fremstilling af nogle observationer.

Boksplotten viser mindsteværdien, de 3 kvartiler og størsteværdien.

I en boksplot indgår et rektangel, hvor de to tider angiver 1. og 3. kvartil.

Parellelt med disse sider er inde i rektanglet et linjestykke, som viser 2. kvartil (medianen)

Vinkelret herpå, tværs gennem rektanglet, er et linjestykke, hvis endepunkter viser mindste og størsteværdi.

Eksempel:

Der er et selskab på 7 mennesker med følgende aldre: 3, 5, 9, 10, 12, 14, 20

Mindsteværdien = 3

1. kvartil = 5

Median = 10

3. kvarttil = 14

Størsteværdien = 20

Få regneark til at tegne et boksplot m m. Link: Boksplot v. Jens Runge

Definition af middeltal ved ikke grupperede observationer

Middeltallet, også kaldet gennemsnittet, er summen af alle observationer divideret med antallet.

Hvis observationerne er grupperet i intervaller, kan denne beregningsmetode ikke bruges. Vi vil senere se, hvordan vi beregner middeltallet ved grupperede observationer.

2) Løs Interaktiv statistik-opgave

3) Løs E-opgaver: E-opgaver_16a_Statistik.htm

4) Løs fra 2006-opgavehæftet 1.019 og 2.006 Facitliste

Link til RegneRobot & opgavehæfte

Lektion 16b: Statistik

Udfør følgende 5 punkter

1)Se: Video med Statistik

2)Læs

Grupperede observationer

Når der er mange forskellige observationer vælger man ofte at gruppere observationerne, fx:

Alder:	0 à 29	30 à 59	60 à 89	90 à 120
Alder:	[0;30[	[30;60[	[60;90[	[90;120[
Antal (hyppighed)	3500	3000	2000	1500
frekvens	35%	30%	20%	15%

Bemærk, 0 à 29 svarer til intervallet [0;30[, fordi folk siger de 29 lige indtil blot én dag før, de fylder 30. Denne særhed afspejles ved statistik med alder.

Boksplot kan bruges både ved grupperede observationer og ved ikke-grupperede observationer.

Histogram

Vi ser ovenfor endnu en deskriptor nemlig frekvens. Frekvensen angiver hvor stor en brøkdel, der er i et interval i forhold til alle observationer.

Frekvens =^hyppighed / antal observationer i alt

Frekvens kan angives i % eller som decimalbrøk, fx 35% eller 0,35

Frekvensen (eller hyppigheden) kan fremstilles grafisk i et såkaldt histogram:

HISTOGRAM

Skabelon til tegning af histogram: Skabelon_histogram.xls

Middeltal ved grupperede observationer

Ved grupperede observationer kan man ikke vide, hvordan observationerne fordeler sig i hvert interval, men man har vedtaget at betragte det som om, de fordeler sig jævnt.

Ved beregning af middeltallet kommer det ud på det samme, som at betragte det som om, alle observationer i hvert interval ligger midt i intervallet.

Derfor beregnes middeltallet ved for hvert interval at gange intervalmidtpunktet med intervallets frekvens og derefter lægge alle produkterne sammen

I ovenstående eksempel er intervalmidtpunkterne 15, 45, 75 og 105.

Middeltallet = 15·35% + 45·30% + 75·20% + 105·15% = 49,5

Sumkurve

Der findes yderligere nogle deskriptorer:

Kumuleret hyppighed, der beregnes ved at lægge hyppigheder sammen.

Kumuleret frekvens, der beregnes ved at lægge frekvenser sammen.

Hvis frekvenserne er afrundede tal, kan det være mere nøjagtigt i stedet at dividere kumuleret hyppighed med antal observationer i alt.

Her ses et skema med beregninger af kumuleret hyppighed og kumuleret frekvens:

Alder:		0 à 29	30 à 59	60 à 89	90 à 120
Alder:		[0;30[	[30;60[	[60;90[	[90;120[
Antal (hyppighed)	h	3500	3000	2000	1500
frekvens	f	35%	30%	20%	15%
Kumuleert hyppighed	H	3500	6500	8500	10000
Kumuleret frekvens	F	35%	65%	85%	100%

h, f, H og F er hyppigt anvendte forkortelser for hyppighed, frekvens , kumuleret hyppighed og kumuleret frekvens.

Den kumulerede frekvens F er en funktion, der fortæller hvor mange %, der er under en bestemt alder. Fx ses at 65% er under 60 år.

Grafen for denne funktion kaldes en sumkurve og sumkurver tegnes altid med rette linjestykker mellem støttepunkterne. De rette linjestykker er udtryk for, at man igen betragter observationerne, som om de fordeler sig jævnt i hvert interval.

Støttepunkter:
Alder	0	30	60	90	120
F	0%	35%	65%	85%	100%

Definition af median og kvartiler

Median og kvartiler defineres på én måde ved grupperede funktioner og på en anden måde ved ikke grupperede observationer.

Ved ikke grupperede observationer defineres således:

Observationerne sorteres i stigende orden

Ved et ulige antal observationer defineres medianen som den midterste observation.

Ved et lige antal observationer defineres medianen som midtpunktet af de 2 midterste observationer.

Første kvartil eller 1. kvartil eller nedre kvartil defineres som medianen for de observationer, der ligger til venstre for hele observationssættets median.

Tredje kvartil eller 3. kvartil eller øvre kvartil defineres som medianen for de observationer, der ligger til højre for hele observationssættets median.

Ved grupperede observationer defineres således:

Ved grupperede observationer aflæser vi kvartilsættet ved hjælp af sumkurven:

1. kvartil: Gå vandret fra 25% på 2.aksen til sumkurven og så lodret til 1.aksen.

Medianen: Gå vandret fra 50% på 2.aksen til sumkurven og så lodret til 1.aksen.

3. kvartil: Gå vandret fra 75% på 2.aksen til sumkurven og så lodret til 1.aksen.

Ved ovenstående sumkurve bliver kvartilsættet: 22 år, 45 år, 75 år

Prøv skabelon til tegning af sumkurve m.m. Link: Skabelon_sumkurve.xls

3) Løs Interaktiv statistik-opgave

4) Løs E-opgaver: E-opgaver_16b_Statistik.htm

5) Regn Terminsprøve

RegneRobot & tidligere eksamensopgaver

Link til Indholdsfortegnelse

Lektion 17a: Repetition og flere beviser mv.

Udfør følgende 4 punkter

1) Læs:

Geometri

Arealet af en trekant er ½ højde gange grundlinje

Vi bruger formlen: A=½h·g

Vi vil nu anskueliggøre formlen.

Betragt et rektangel med samme grundlinje og højde:

Firkantens areal er h·g

Vi ser De to områder med er lige store og de to områder med er lige store.

Derfor er arealet af trekanten det halve af firkantens areal, altså : A=½h·g

Vinkler

Ensliggende vinkler er lige store

Topvinkler er lige store

Vinkelsummen i en trekant er 180°

Det bevises således:

Ved trekantvinklen u er tegnet en linje parallel med modstående side.

De to vinkler v er lige store fordi det er ensliggende vinkler ved parallelle linjer.

Det samme gælder de to vinkler w

De to vinkler u er lige store, fordi de er topvinkler.

Herefter ses det umiddelbart at vinkelsummen u + v + w = 180°

Vinkelsummen af de to spidse vinkler i en retvinklet trekant er 90°

Bevis:

Vinkelsummen er lig 180° minus den rette vinkel på 90°, altså 180° – 90° = 90°

2) Løs E-opgaver: E-opgaver 17a Mundtlig eksamen. Var.samh. & grafer

3) Løs og aflever rapportopgaven ”Mønt falder ned” . Se lektion 15, punkt 2)

4) Løs fra 2006-opgavehæftet 1.020 Facitliste

Link til RegneRobot & opgavehæfte

Lektion 17b: Repetition og flere beviser mv.

Udfør følgende 4 punkter

1) Læs:

Pythagoras’ sætning

c² = a² + b²

Sagt med ord:

Kvadratet på hypotenusen er lig summen af kateternes kvadrater

Pythagoras’s sætning kan illustreres således:

Det store kvadrat og de to små har samme areal.

Her vil blive vist to beviser af Pythagoras sætning.

Du behøver kun at kunne det ene til mundtlig eksamen.

Bevis 1:

Vi betragter et kvadrat med side-længden a+b

Vi placerer 4 kopier af den retvinklede trekant inde i kvadratet som vist på figuren.

Firkanten inde i midten er et kvadrat fordi siderne er lige lange nemlig c og alle vinkler er 90°. Det er de fordi de sammen med deres nabovinkler er 180° og nabovinklerne udgør 90°, nemlig de 2 spidse vinkler i den retvinklede trekant.

Arealet af den store firkant kan dels beregnes således:

(a+b)² = (a+b)·(a+b) = a² + ab + ab + b² = a² + b² + 2ab

og dels således:

Arealet af det lille kvadrat inden I midten plus arealet af de 4 trekanter

= c² + 4·½·a·b = c² + 2ab

Altså c² + 2ab = a² + b² + 2ab

ó c² = a² + b²

hvilket skulle vises.

Bevis 2:

Vinkel C er 90°

Denne retvinklede trekant kopieres 4 gange over i et stort kvadrat med sidelængden a+b. Se nedenfor til venstre.

Der opstår et kvadrat inde i midten med sidelængden c og arealet c².

Det store kvadrat til højre er magen til. Her indtegnes et lille kvadrat oppe i venstre hjørne med sidelængden a og i nederste højre hjørne et kvadrat med sidelængden b. Resten af det store kvadrat fyldes ud med 4 kopier af den forelagte retvinklede trekant.

Lighedstegnet mellem de to figurer betyder, at de har samme areal.

Vi fjerner nu 4 trekanter fra både figuren til venstre og fra figuren til højre, og vi får:

Altså c²

a² + b²

Man kan måske tvivle på om firkanten til venstre nu også er et kvadrat.

Lad bevise at firkanten er et kvadrat.

En firkant kaldes et kvadrat, hvis alle sider er lige lange og alle vinkler er 90°.

De 4 sider har alle længden c og er således lige lange.

Vi betragter herefter den ene af vinklerne i firkanten samt dens 2 tilstødende trekantvinkler.

Vi skal bevise at v = 90°

Vinkel A og B er de to spidse vinkler i den oprindelige retvinklede trekant, og
er tilsammen 90°.
Vinkel v må således være 90°, da summen af de 3vinkler er 180°

Et tilsvarende argument gælder for de 3 andre firkantvinkler, og derfor er firkanten et kvadrat.

2) Se evt. sidste halvdel af denne video om geometri med beviser
(Se hele videoen i næste lektion)

3) Løs E-opgaver: E-opgaver 17b Mundtlig eksamen. % & rente

4) Løs
fra 2006-opgavehæftet 2.010 Facitliste

Link til RegneRobot & opgavehæfte

Lektion 17c: Repetition og flere beviser mv.

Udfør følgende 4 punkter

1) Se Video om geometri med beviser

2) Læs:

Definition af Sinus og Cosinus

Til enhver spids vinkel kan vi knytte et tal, vi kalder sinus til vinklen og et tal , vi kalder cosinus til vinkelen.

Det gør vi på følgende måde:

Lad os betragte en spids vinkel v.

Den placerer vi i et koordinatsystem således, at vinklens toppunkt ligger i koordinatsystemets begyndelsespunkt og så højrebenet falder sammen med x-aksen.

I koordinatsystemet tegnes en cirkel med radius 1 og centrum i koordinatsystemets begyndelsespunkt.

Fra skæringspunktet mellem vinklens venstre ben og cirklen tegnes en lodret linje hen til x-aksen. Det tal, som denne linje rammer kaldes Cos(v) eller blot Cos v. Det udtales cosinus til vinklen.

Endvidere tegnes fra skæringspunktet en vandret linje hen til y-aksen.

Det tal, som denne linje rammer kaldes Sin(v) eller blot Sin v. Det udtales sinus til vinklen.

Der er opstået en retvinklet trekant med den ene katete langs x-aksen og da radius er 1, får denne trekant en hypotenuse med længden 1.

En retvinklet trekant med hypotenusen 1 kaldes en standardtrekant

Den til vinkel v hosliggende katete i standardtrekanten har længden Cos v, og den modstående katete har længden Sin v.

Bevis for Sinus- og Cosinusformlerne

Vi betragter en retvinklet trekant:

og en standardtrekant ensvinklet med den forelagte:

Vi skal bevise

Skalafaktoren (forstørrelsesfaktoren) fra standardtrekanten til den forelagte er c

, hvilket skulle vises

Cosinusformlen bevises på tilsvarende måde.

Tangens

Definition:

Formel:

hvor bogstaverne henviser til en retvinklet ΔABC med den rette vinkel i C

Bevis:

hvilket skulle bevises

Bevis for Sinus- og Cosinusrelationerne indgår ikke i pensum på Matematik C hf

3)Løs E-opgaver: E-opgaver 17c, Mundtlig eksamen. Trekantberegning

4) Løs
fra 2006-opgavehæftet 2.007, 2.017, 2.018 Facitliste

Link til RegneRobot & opgavehæfte

Lektion 17d: Repetition og flere beviser mv.

Udfør følgende 4 punkter

1) Se Lineære funktioner med_beviser

2) Læs:

Lineær funktion

Definition:

En funktion kaldes lineær, hvis grafen er en linje eller en del af en linje.

Her er 2 eksempler på lineære funktioner:

Den til venstre er ikke defineret for x ≥ 0.

Begyndelsesværdien b er det tal på y-aksen,

hvor grafen eller dens forlængelse skærer y-aksen.

Hældningskoefficienten a er den tilvækst, der kommer i y når x gøres én større. Se tegning:

Formel:

Hvis man kender 2 punkter på grafen: (x₁, y₁ ) og (x₂ , y₂) kan a beregnes, idet

Bevis:

Vi vil kun gennemføre beviset for en voksende funktion defineret for alle x. Dvs. grafen er en opadgående linje.

Til højre ses en sådan graf med de 2 grafpunkter markeret.

Endvidere er a markeret.

På tegningen optræder 2 ensvinklede trekanter, en rød og en grøn.

Skalafaktoren (forstørrelsesfaktoren) fra den røde trekant til den grønne kan

beregnes ved at dividere tilsvarende sider.

Ved at dividere de 2 lodrette fås ^(y²^-^y¹⁾/_a

Ved at dividere de 2 vandrette fås (x₂-x₁) / 1 = (x₂-x₁)

Altså (x₂-x₁) = ^(y²^{- y}¹⁾/_a

ó a (x₂-x₁) = (y₂ - y₁)

Hvilket skulle vises.

Regel

For en lineær funktion gælder at regneforskriften er: y = ax + b

Bevis

Vi betragter et punkt (x , y) og vil finde en formel for y.

Vi betragter yderligere punktet (0, b)

Disse 2 punkter indsættes i formlen for a og vi får

a = ^{(y - b)}/_{(x - 0)} ó

a = ^{(y - b)}/_x ó

ax = (y - b) ó

ax + b = y Hvilket skulle bevises

Formel: b = y₁- a x₁

Bevis

y₁= a x₁+ b ó y₁- a x₁= b Hvilket skulle bevises

3) Løs E-opgaver: E-opgaver 17d, Mundtlig eksamen. Lineær vækst

4) Løs en terminsprøve (3 timer i et stræk)

Link til RegneRobot & opgavehæfte

Lektion 17e: Repetition og flere beviser mv.

Udfør følgende 4 punkter

1) Se Potensfunktion med beviser

2) Læs

Potensfunktioner

Definition: y=b·x^a , b>0 og x>0

Der gælder:

Log y er en liner funktion af log x

Det ses ved at tage log på begge sider af lighedstegnet.

Log y = Log (b·x^a) Ved anvendelse af en af logaritmereglerne fås

Log y = Log b +Log (x^a) Ved at anvende en anden logaritmeregel fås

Log y = Log b +a · Log x , som er regneforskriften for en lineær

funktion af Log x, idet begyndelsesværdien

er Log b og hældningskoefficienten er a.
Grafen bliver en linje i dobbelt logaritmisk

papir.
a kan findes ved at måle på grafen eller ved at aflæse to

grafpunkter og bruge formlen:

b findes ved

()

Fremskrivning af y med fremskrivningsfaktoren (1+r)

Vi betragter y₁= b·x₁^a

og fremskriver x₁fremskrivningsfaktoren (1+r)

Det giver en ny x-værdi x₂ = x₁·(1+r)

og en ny y-værdi y₂= b·( x₁·(1+r))^a .

Ud fra reglerne om regning med eksponenter fås:

y₂= b·x₁^a·(1+r)^a og da y₁= b·x₁^a fås

y₂= y₁·(1+r)^a

Altså når x fremskrives med faktoren (1+r) , så fremskrives y med (1+r)^a

3) Løs e-opgaver E-opgaver_17e Potensfunktion

4) Løs
fra 2006-opgavehæftet 2.001, 2.008, 2.013 Facitliste

Link til RegneRobot & opgavehæfte

Link til Indholdsfortegnelse

Lektion 18a Eksamen

Udfør følgende 3 punkter

1) Læs:

Pensum til mundtlig eksamen er nedfældet i en undervisningsbeskrivelse. Både undervisningsbeskrivelsen og eksamensspørgsmålene offentliggøres i god tid før eksamen på skolens hjemmeside.

Eksempel på undervisningsbeskrivelse svarende til denne undervisningspakke:

Link: Undervisningsbeskrivelse

2) Løs E-opgaver: E-opgaver 18a Mundtlig eksamen. Eksponentiel vækst

3) Løs tidligere prøvesæt

Link til RegneRobot & opgaver

Terminsprøver bør udføres på 3 timer i ét stræk og uden forstyrrelser.

Se liste over matematiske ord med forklaring og hjælp til udtale

Lektion 18b Eksamen

Udfør følgende 3 punkter

1) Læs:

Om Eksamen

Det er tilladt at gå på Internettet i begrænset omfang. De hjemmesider, som skolen/kurset har benyttet i undervisningen må du gerne benytte til skriftlig og mundtlig eksamen.

Det er således tilladt at benytte RegneRobot til eksamen.

Der afholdes en skriftlig og en mundtlig eksamen. Den skriftlige eksamen varer 3 timer.

Alle hjælpemidler er tilladte, også andres notater, dog er kommunikation med omverden ikke tilladt.

Under den mundtlige eksaminationen bør man ikke kigge for meget i sine notater. Direkte oplæsning eller afskrift fra notater vil ikke tælle positivt ved bedømmelsen.

Hvis man går i stå under fremlæggelsen, kan man kigge i notaterne, men man bør holde mund mens man kigger.

Mundtlig eksamen er todelt.

Første del er kursistens fremlæggelse (se nedenstående dispositioner og videoer)

Anden del er samtale.

Både første del og anden del vil typisk vare under 15 min.

Det er imidlertid klogt at forberede et foredrag til første del på over 15 min, så du har rigeligt at fortælle om; men underpunkterne i spørgsmålet bør behandles hurtigt, så du er sikker på at nå dem.

Anden del vil typisk tage udgangspunkt i din fremlæggelse. Samtalen vil ikke bevæge sig uden for hovedoverskriften.

Man forbereder sig til mundtlig eksamen ved til hvert spørgsmål at udarbejde en disposition og et foredrag.

Nogen af spørgsmålene ligner hinanden og foredragene vil være næsten ens.

Man kan således nøjes med at forberede ét foredrag til spørgsmål 1 og 2, og et foredrag til spørgsmål 3 og 4, osv.

Der skal således forberedes 7 foredrag.

Foredrag til procent og rentesregning bør indeholde alle de emner, der er i spørgsmål 1 og spørgsmål 2 tilsammen og gerne lidt mere; men rækkefølgen er forskellig. Det er vigtigt, at man først taler om de emner, der er nævnt i det spørgsmål man har trukket.
Derefter kan man tale om de andre emner, der hører under hovedoverskriften.

Tilsvarende med Variabelsammenhænge og grafer og alle de andre spørgsmål.

Det er en fordel at forberede foredrag med så mange emner som muligt, så man har rigeligt at fortælle om.

Sørg for at kunne alle 7 foredrag lige godt.

Man bør på forhånd have afprøvet alle 7 foredrag som en slags generalprøve. Det er en god idé at være nogen stykker, der træner sammen ved en tavle og skiftes til at holde foredrag for hinanden.

2) Løs E-opgaver: E-opgaver 18b Mundtlig eksamen. Statistik

3) Løs Det anbefales at regne tidligere eksamenssæt.

Link til RegneRobot & opgaver

Lektion 18c Eksamen

Eksempel på eksamens-spørgsmål til mundtlig eksamen:

1. Procent- og rentesregning

Gør rede for begrebet fremskrivningsfaktor.

Gør rede for renteformlen for kapitalfremskrivning og for gennemsnitlig årlig rente, gerne med udgangspunkt i et konkret eksempel.

2. Procent- og rentesregning

Gør rede for begrebet fremskrivningsfaktor.

Gør rede for indekstal.

Gør rede for renteformlen for kapitalfremskrivning

3. Variabelsammenhænge og grafer

Gør rede for variabelsammenhænge bestemt ved en regneforskrift og ved en graf.

Vis hvordan, man tegner grafer, gerne med udgangspunkt i rapporten ”Temperatur” .

Vis et eksempler på grafer for lineære funktioner og forklar betydningen af b i regneforskriften: y=ax+b .

4. Variabelsammenhænge og grafer

Gør rede for variabelsammenhænge bestemt ved en regneforskrift og ved en graf.

Vis hvordan, man tegner grafer, gerne med udgangspunkt i rapporten temperatur.

Gør rede for ligefrem proportionalitet og for omvendt proportionalitet.

5. Lineær vækst

Definer lineær funktion.

Du skal bl.a. komme ind på betydningen af tallene a og b og på, hvordan a og b kan bestemmes.

Bevis formlen for a

6. Lineær vækst

Definer lineær funktion

Du skal bl.a. komme ind på betydningen af tallene a og b og på, hvordan a og b kan bestemmes.

Bevis at regneforskriften er .

7. Eksponentiel vækst

Gør rede for den eksponentielle vækstmodel .

Du skal bl.a. komme ind på betydningen af tallene a og b og på, hvordan a og b kan bestemmes.

8. Eksponentiel vækst

Gør rede for den eksponentielle vækstmodel .

Du skal bl.a. komme ind på enkeltlogaritmisk koordinatsystem.

9. Potensfunktioner

Gør rede for potensfunktionen , gerne med udgangspunkt i rapporten: “Mønt falder ned”.

Du skal bl.a. komme ind på betydningen af tallene a og b og på, hvordan a og b kan bestemmes.

10. Trekantsberegning

Gør rede for ensvinklede trekanter, gerne med udgangspunkt i rapportopgaven ”Find højden”.

Gør rede for sinus og cosinus i den retvinklede trekant.

Forklar og bevis Pythagoras’ sætning.

11. Trekantsberegning

Gør rede for ensvinklede trekanter gerne med udgangspunkt i rapporten ”Find højden”.

Gør rede for sinus og cosinus i den retvinklede trekant.

Bevis sinus- og cosinusformlerne

12. Trekantsberegning (bilag vedlagt)

Gør rede for sinus, cosinus og tangens i den retvinklede trekant.

Forklar og bevis formlen for tangens.

Demonstrer et regneeksempler med anvendelse af sinus- og cosinusrelationerne.

Du kan eventuelt benytte eksemplerne i bilaget.

13. Statistik (bilag vedlagt)

Gør rede for kvartiler, både for et ikke grupperet og for et grupperet observationssæt.
Du skal desuden komme ind på begrebet boksplot.

Du må gerne tage udgangspunkt i et eller to konkrete eksempler, eventuelt fra bilaget.

14. Statistik (bilag vedlagt)

Gør rede for kvartiler, både for et ikke grupperet og for et grupperet observationssæt. Du skal desuden komme ind på begrebet sumkurve.

Du må gerne tage udgangspunkt i et eller to konkrete eksempler, eventuelt fra bilaget..

BILAG til statistik spørgsmål:

Eksempel 1:

Der er et selskab på 7 mennesker med følgende aldre: 3, 5, 9, 10, 12, 14, 20

Eksempel 2

Alder:	0 à 29	30 à 59	60 à 89	90 à 120
Antal (hyppighed)	3500	3000	2000	1500

BILAG til spørgsmål 12:

Eksempler på dispositioner

1. Procent- og rentesregning

Fremskrivningsfaktor.

Kapitalfremskrivning

Gennemsnitlig årlig rente

Indekstal

2. Procent- og rentesregning

Fremskrivningsfaktor.

Kapitalfremskrivning

Indekstal

Gennemsnitlig årlig rente

3. Variabelsammenhænge og grafer

Regneforskrift

Graf.

Tegning af grafer.

Grafer for den lineære funktion: y=2x+3

Betydningen af b og a

Proportionalitet

Omvendt proportionalitet

4. Variabelsammenhænge og grafer

Regneforskrift

Graf.

Tegning af grafer.

Proportionalitet

Omvendt proportionalitet

Grafer for den lineære funktion: y=2x+3

Betydningen af b og a

5. Lineær vækst

Definer lineær funktion.

Definer a og b

Formlen for a

Formlen for b

Bevis formlen for a

Regneforskriften y=ax+b

Bevis regneforskriften y=ax+b

Konklussion: Regneforskrift kan bestemmes ud fra 2 grafpunkter

6. Lineær vækst

Definer lineær funktion.

Definer a og b

Bevis regneforskriften y=ax+b

Bevis formlen for a

Bevis formlen for b

Konklusion: Regneforskrift kan bestemmes ud fra 2 grafpunkter

7. Eksponentiel vækst

Definition af eksponentiel vækst .

Betydningen af a og b

Formlen for a

Formlen for b

Bevis formlen for a

Bevis formlen ofr b

Konklusion: Regneforskrift kan bestemmes ud fra 2 grafpunkter

Enkelt logaritmisk koordinatsystem

T₂ og T_½

Find T₂ og T_½grafisk

Bevis formlerne for T₂ og T_½

8. Eksponentiel vækst

Definition af eksponentiel vækst .

Betydningen af a og b

T₂ og T_½

Find T₂ og T_½grafisk

Bevis formlerne for T₂ og T_½

Formlen for a

Formlen for b

Bevis formlen for a

Bevis formlen ofr b

Konklusion: Regneforskrift kan bestemmes ud fra 2 grafpunkter

Enkelt logaritmisk koordinatsystem

9. Potensfunktioner

Definition af potensfunktion .

Betydningen af a og b

Formlen for a

Formlen for b

Bevis formlen for a

Bevis formlen for b

Dobbeltlogaritmisk koordinatsystem

10. Trekantsberegning

Ensvinklede trekanter.

Højden af en flagstang el. Lign.

Definition af sinus og cosinus

Sin- og Cosinusformlerne

Forklar Pythagoras’ sætning.

Bevis Pythagoras’ sætning.

Bevis Sin- og Cosinusformlerne

Definer Tangens

Bevis tangensformlen

Eksempel på anvendelse af formlerne

11. Trekantsberegning

Ensvinklede trekanter.

Højden af en flagstang el. Lign.

Definition af sinus og cosinus

Sin- og Cosinusformlerne

Bevis Sin- og Cosinusformlerne

Definer Tangens

Bevis tangensformlen

Forklar Pythagoras’ sætning.

Bevis Pythagoras’ sætning.

Eksempel på anvendelse af formlerne

12. Trekantsberegning

Definition af sinus og cosinus

Sin- og Cosinusformlerne for retvinklede trekanter

Definer Tangens

Bevis tangensformlen

Nævn sinus- og Cosinus-relationerne, som anvendes ved vilkårlige trekanter

Regn et eksempel (evt. fra bilag), hvor du anvender Sinus-relationerne

Regn et eksempel (evt. fra bilag), hvor du anvender Cosinus-relationerne

Bevis Sin- og Cosinusformlerne for retvinklede trekanter

Forklar Pythagoras’ sætning.

Bevis Pythagoras’ sætning.

Ensvinklede trekanter.

Eksempel på anvendelse af formlerne

BILAG

x² = 5² + 1² - 2·5·1·Cos 60°

13. Statistik

Fortæl om formål med statistik

Betragt observationssættet: 3, 5, 9, 10, 12, 14, 20

Definer median

Definer nedre kvartil

Definer øvre kvartil

Definer mindsteværdi og størsteværdi

Tegn et boksplot

Middeltal = gennemsnit (3+5+9+10+12+14+20)/7 = 10,4… = 10

Betragt følgende observationssæt for grupperede observationer

Alder:	[ 0; 30 [	[ 30; 60 [	[60 ; 90 [	[ 90 ; 120 [
h Antal (hyppighed)	3500	3000	2000	1500
H kumuleret hyppighed	3500	6500	8500	10000
f frekvens	3500/10000 = 35%	3000/10000 = 30%	2000/10000 = 20%	1500/10000 = 15%
F kumuleret frekvens	3500/10000 = 35%	6500/10000 = 65%	8500/10000 = 85%	100%

Tegn sumkurven ud fra støttepunkterne:

Alder:	0	30	60	90	120
F	0%	35%	65%	85%	100%

Definer median

Definer nedre kvartil

Definer øvre kvartil

Definer middeltal (Sum af interval-midtpunkt gange frekvens: 15·0,35 + 45·0,30 + 75·0,20 + 105·0,15 = 49,5)

Fortæl om forskel på median og middeltal

Tegn histogram

14. Statistik

Fortæl om formål med statistik

Betragt observationssættet: 3, 5, 9, 10, 12, 14, 20

Definer median

Definer nedre kvartil

Definer øvre kvartil

Definer mindsteværdi og størsteværdi

Middeltal = gennemsnit (3+5+9+10+12+14+20)/7 = 10,4… = 10

Betragt følgende observationssæt for grupperede observationer

Alder:	[ 0; 30 [	[ 30; 60 [	[60 ; 90 [	[ 90 ; 120 [
h Antal (hyppighed)	3500	3000	2000	1500
H kumuleret hyppighed	3500	6500	8500	10000
f frekvens	3500/10000 = 35%	3000/10000 = 30%	2000/10000 = 20%	1500/10000 = 15%
F kumuleret frekvens	3500/10000 = 35%	6500/10000 = 65%	8500/10000 = 85%	100%

Definer median

Definer nedre kvartil

Definer øvre kvartil

Definer middeltal (Sum af interval-midtpunkt gange frekvens: 15·0,35 + 45·0,30 + 75·0,20 + 105·0,15 = 49,5)

Fortæl om forskel på median og middeltal

Tegn histogram

Tegn et boksplot

Se videoer med demo af mundtlig eksamen

Formelsamling Mat. C

Se liste over matematiske ord med forklaring og hjælp til udtale

Brøker

Regel

Formel

Eksempel

Helt tal gange brøk

Det hele tal ganges ind i tælleren

Brøk gange brøk

Tæller gang tæller og nævner gang nævner

Brøk divideret med
helt tal

Det hele tal ganges ind i nævneren

Helt tal divideret
med brøk

Man dividerer med en brøk ved at gange med den omvendte

k :

Brøk divideret med brøk

Man dividerer med en brøk ved at gange med den omvendte

Forkorte en brøk

Tæller og nævner divideres med samme tal

Forlænge en brøk

Tæller og nævner ganges med samme tal

Brøk plus brøk med
samme nævner

Tæller plus tæller og behold den fælles nævner

Brøk minus brøk med
samme nævner

Tæller minus tæller og behold den fælles nævner

Find fællesnævner
for 2 brøker

De to nævnere ganges med hinanden

Ligninger

Regel	Regel sagt på en anden måde	Eksempel
Man må lægge samme størrelse til på begge sider af lighedstegnet. Man må trække damme størrelse fra på begge sider af lighedstegnet	Man må flytte en størrelse over på den anden side af lighedstegnet, hvis man skifter fortegn på størrelsen	3x = 2x + 7 ó 3x – 2x = 7
Man må gange med samme størrelse på begge sider. Dog ikke med nul.		ó ó 2x + 15 = 27
Man må dividere med samme størrelse på begge sider		7x = 35 ó x = 5

Parenteser

	Regel	Formel	Eksempel
Tal gange parentes	Tallet ganges med hvert led i parentesen
Parentes gange parentes	Hvert led i den ene ganges med hvert led i den anden		(3x – 5)(2x+1) = 6x² + 3x -10x – 5 = 6x² – 7x – 5
Minus parentes	Man kan hæve en minus parentes ved at skifte fortegn på alle led	-(a-b) = -a + b	-(x-5) = -1(x-5) = -x + 5

Procent

Regel

Bogstaver

Formler

Eksempel

Tal
plus procent

Man lægger p% til et tal ved at gange med (1+p%)

B: Begyndelsesværdi

S: Slutværdi

F: Fremskrivningsfaktor

p%: Rentefod

r = p%

F = (1+r) = (1+p%)

S = B · F

S = B(1+p%)

S= B(1+r)

B = 200

p% = 5% = 0,05

S = 200 · (1+5%) = 200 · 1,05 = 210

Tal
minus procent

Man trækker p% fra et tal ved at gange med (1-p%)

At trække p% fra et tal er det samme som at lægge (-p%) til tallet

S = B · F

S = B·(1-p%)

S= B·(1-r)

B = 200

p% = -5% = -0,05

S = 200 · (1-5%)
= 200 · 0,95 = 190

Rente

Bogstaver

Formler

Eksempler

Kapital- fremskrivning

K₀: Begyndelses-kapital

n:
Antal terminer

r:
Rentefod

K:
Kapital efter
n terminer

K= K₀(1+r)ⁿ

= K·(1+r)^-n

B = 200, r = 10% , n = 4

K = 200 · 1,10⁴
= 200·1,4641
= 292,82

K₀ =

= 292,82 · 1,10^-4= 200

Gennem-
snitlig
rentefod

K₀: Begyndelses-kapital

n:
Antal terminer

r = p%: Gennemsnitlig rentefod

K: Kapital efter
n terminer

(1+r)ⁿ

(1+r)

1+ r =

= 1,10

r = 0,10

r = 10%

p% = 10%

Indeks

Bogstaver

Formler

Eksempler

a: Værdi i basisåret

b: Værdi et vilkårligt år

i: Indeks, når årets værdi er b

År	…	…	Basisår	…	…
Værdi	…	…	a	…	b
Indeks	…	…	100	…	i

År

1988

1989

Basis-år 1990

1991

1992

Værdi

125

200

250

300

375

Indeks

100

c: Den gamle indeks-værdi i det nye basisår

d: Gammel Indeks-værdi et vilkårligt år
e: Nyt indeks, når årets gamle indeks er d

År	Gam-melt basisår	…	Nyt basisår	…	…
Gam- melt indeks	100	…	c	…	d
Nyt indeks	…	…	100	…	e

År

Gam-melt
basisår
1990

1991

Nyt

basisår
1992

1993

1994

Gam-
melt
indeks

100

…

150

…

300

Nyt
indeks

…

100

…

Geometri

Bogstaver

Formler

Eksempler

Areal
af trekant

T = Areal =
½ højde · grundlinje

T = ½·h·g

T= 0,5·a·h_a = 0,5ab·Sin C

T= 0,5·b·h_b = 0,5bc·Sin A

T= 0,5·c·h_c = 0,5ca·Sin B

T = ½·10·15 = 75

T =

0,5·4·9·Sin(30°)

Herons formel:

hvor

Vinkelsum
i en trekant

Vinkelsummen
i en trekant
er 180°

v + u + w = 180°

u =180° - 70° - 80°

Ens-
vinklede trekanter

k = skalafaktor
= forstørrelsesfaktor

b₁= k · b

k = = 1,5

b₁ = 1,5 · 4 = 6

c = = 8

a² = b² + c² – 2bc·Cos A

Cos C =

Cos B =

Cos A =

Sin(70°) 5,0			=	Sin(50°) c
c	=	5,0·Sin(50°) Sin(70°)

b² =5,0²+4,0²-2·4,0·5,0·Cos(60°)

Symboler m.m.

Formler

Eksempel

Ret-
vinklet
trekant

(Pytha-
goras,

Sinus,

Cosinus

og

Tangens)

Forkortelser:

Hyp: Hypotenusen

hosl.k: Hosliggende katete

modst: Modstående katete

, Cos^-1 og på lommeregner svarer til

ArcSin , ArcCos og ArcTan i Calculator.dk og i RegneRobot.

Også i regneark benyttes ArcSin , ArcCos og ArcTan; men her angives vinkler i radianer i stedet for grader.

Radianetal = gradtal * 2pi() / 180

Gradtal = radiantal * 180 / 2pi()

fx:

0,5 =Sin(30 * 2pi() / 180)

30 =ArcSin(0,5) * 180 / 2pi()

I regneark Excel kan man konvertere med funktionerne grader og radianer.

0,5 =Sin(radianer(30))

30 =Grader(ArcSin(0,5))

Pythagoras

Kvadratet på
hypotenusen er lig
summen af
kateternes kvadrat.

hyp² = hosl.k² + modst²

Sinus

Cosinus

Tangens

Pythagoras

5² = 4² + 3²

Sinus

Cosinus

Tangens

Tan(v)= ³/4ó

v=Tan^-1( ³/4)=37°

Hvornår bruges hvilke formler ved trekantberegning ?

Kig efter, om der er ensvinklede trekanter

Vurder om Areal-formlen kan bruges

Hvis de 3 vinkler er i spil, så: Vinkelsum ( i spil betyder er kendt eller ønskes beregnet)

Hvis 2 vinkler og de modstående sider er i spil, så Siusrelationerne.

Hvis alle 3 sider og en vinkel er i spil, så Cosinusrelationerne

Ved retvinklede trekanter:

Hvis kun sider er i spil: Pythagoras

Hvis en vinkel og 2 kateter er i spil: Tangens

Hvis hosliggende katete ikke er i spil: Sinus

Ellers: Cosinus

Eksponenter

Formel

Eksempel

a^p·a^q= a^p+q

5³ · 5⁴ = 5³⁺⁴

(a·b)^p = a^p· b^p

(5·7)³ = 5³· 7³

a^p: b^p = (^a/_b)^p

5³ : 7³= ( ⁵/₇ )³

(5³)⁴= 5³^·⁴ = 5¹²

a^-p⁼

5^-3=

a^{-1 =}

5^-1 =

a¹= a

5¹ = 5

a⁰= 1

5⁰ = 1

Logaritmer

Formel	Eksempel
Log(a·b) = Log(a) + Log(b)	Log(5 · 3) = Log 5 + Log(3)
Log(a^x) = x·Log(a)	Log(5³) = 3·Log(5)

(Ligefrem) Proportionalitet

Bogstaver

Formler

Eksempler

k: Proportionalititettsfaktor

X	…	…	…	…	…
Y	…	…	…	…	…

y=k·x

(Lineær funktion hvor
begyndelsesværdien er nul og
hældningskoefficienten er k)

x	4	50	c
y	d	500	70

d = 10·4 = 40

Omvendt proportionalitet

Bogstaver

Formler

Eksempler

x	…	…	…	…	…
y	…	…	…	…	…

x	2	20	c
y	d	21	42

Vækst

	Lineær vækst	Eksponentiel vækst	Potens-vækst
Regne- forskrift


Fordoblings- konstant
Halverings- konstant
			Hvis x fremskrives med p% = r, så er fremskrivningsfaktoren for x: (1+r) og fremskrivningsfaktoren for y: (1+r)^a Procentvis ændring af y bliver: ( (1+r)^a – 1) · 100%
Anbefalet koordinat- system	Sædvanligt	Enkelt logaritmisk	Dobbelt logaritmisk